正規分布の実数全体での積分値（ガウス積分の証明）

確率密度関数としてしばしば用いられる正規分布は、当然ながら規格化されたものである（実数全体での積分値が ${1}$ になる）。

${ p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} }$

とおく。
この ${p(x)}$ の実数全体での積分値の二乗に対して積分区間を極座標に変換することにより、正規分布関数の実数全体での積分値を求める。

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正規分布関数の実数全体での積分値は以下のように表される。

${ \begin{align} \int^\infty_{-\infty}p(x)dx&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx \end{align} }$

ここで ${ I=\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx }$ とおくと、

${ \begin{align} I^2&=\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}}dy\\ &=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}dxdy \end{align} }$

となる。
積分区間を極座標に変換し、以下のように ${I}$ を求める。

${ \begin{align} I^2&=\int^\infty_0\int^{2\pi}_0 re^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}d\theta dr\\ &=\int^{2\pi}_0d\theta\int^\infty_0re^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}dr\\ &=2\pi\left[-\sigma^2 e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}\right]^\infty_0 \cdot\cdot\cdot\cdot(i)\\ &=2\pi\sigma^2\\ I&=\sqrt{2\pi\sigma^2} \end{align} }$

よってガウス積分は、以下のように求まる。

${\int^\infty_{-\infty}p(x)=1}$

${(i)\cdot\cdot\cdot}$
${ \frac{d}{dr}\left(-\sigma^2 e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}\right)=re^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} }$ を適用した。